DONALD EN EL PAÍS DE LAS MATEMÁTICAS COMPLETO AUDIO LATINO

1.6 Ecuaciones polinómicas.

Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo

Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:

Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por

que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos. 

Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i.

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.

Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc. 

Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.

La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción:

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejos

Potencias de números complejos

Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = re^iθ vienen dadas por

z = rⁿe^inθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)

Como zⁿ⁺¹ = zzⁿ cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z⁰ = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zⁿ en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zⁿ = (z^-1)^m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rⁿe^inθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z^-1 que

zⁿ = [1/r e^i(-θ)]^m = (1/r)^m e^{im(-θ) =} rⁿe^inθ

Por tanto, la ecuación z = rⁿe^inθ es válida para toda potencia entera.

Nótese que si r = 1, z = rⁿe^inθ se convierte en

(e^iθ)ⁿ = e^iθn           (n = 0, ±1, ±2 ...)

Cuando se expresa en la forma

(cos θ + i sen θ)ⁿ = cos nθ + i sen nθ

que se le conoce como la fórmula de De Moivre

https://sites.google.com/site/tecalgebralineal/unidad-1-numeros-complejos/1-5-teorema-de-demoiver-potencias-y-extraccion-de-raices-ecuaciones-plolinomicas

1.4 Forma polar y exponencial de un numero complejo.

Forma Polar

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como

x = r cos θ    e    y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

Forma exponencial

La ecuación

e^iθ = cos θ + i sen θ

que define el simbolo e^iθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = re^iθ

https://sites.google.com/site/tecalgebralineal/unidad-1-numeros-complejos/1-4-forma-polar-y-exponencial-de-un-numero-complejo

1.3.- Potencias de "i", Valor absoluto de un número complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras,que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde elorigen del plano. Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r e^iφ, entonces |z| = r . Se puede expresar en forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e^iφ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

Para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas.

Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

1.2.- Operaciones fundamentales con números complejos

La naturaleza de un número complejo contiene los números reales extendidos que resulten necesarios para resolver un problema que sería difícil de resolver utilizando sólo los números reales. Existen una gran variedad de operaciones que pueden realizarse con los números complejos. La suma, resta, división y multiplicación constituyen las operaciones básicas que pueden realizarse con los números complejos.

 

La Suma y Diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.
 
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
 (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

 

Ejemplo:

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

 

Ejemplo:

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

   

 

Ejemplo:

   

 

Referencia: http://www.vitutor.com/di/c/a_5.html   

1.1.- Definicion y origen de los numeros complejos

Definición de números complejos

Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).

Los números complejos componen el denominado cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el correspondiente complejo (a, 0), el cuerpo de estos números reales (R) se transforma en un subcuerpo de C. Por otra parte, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no admiten la posibilidad de mantener un orden, a diferencia de los números reales.


Lee todo en: Definición de números complejos - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/numeros-complejos/#ixzz3kLzw7zY0

Historia de los números complejos

Ya desde el siglo I antes de Cristo, algunos matemáticos griegos, como ser Herón de Alejandría, comenzaron a esbozar el concepto de números complejos, ante dificultades para construir una pirámide. Sin embargo, recién en el siglo XVI empezaron a ocupar un lugar importante para la ciencia; en ese momento, un grupo de personas buscaba fórmulas para obtener las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3.

En primer lugar, su interés era dar con las raíces reales de las ecuaciones antes mencionadas; sin embargo, también debieron enfrentarse a las raíces de números negativos. El famoso filósofo, matemático y físico de origen francés Descartes fue quien creó el término de números imaginarios en el siglo XVII, y recién más de 100 años más tarde sería aceptado el concepto de los complejos. Sin embargo, fue necesario que Gauss, científico alemán, lo redescubriera un tiempo después para que éste recibiera la atención que merecía.


Lee todo en: Definición de números complejos - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/numeros-complejos/#ixzz3kM1U3h8V

Todos los números que conocemos y usamos están englobados en una categoría matemática, llamada Número Reales, que seguramente te acuerdas cuando estudiabas algebra en el secundario. Desde la utilización misma de los números siempre han surgido diferente problemas que pudieron resolverse mediante las armas algebraicas del momento, y se debió crear o inventar nuevos artilugios para lograr una solución de los mismos, por ejemplo el numero cero, los números negativos, fraccionarios, etc.

 

Así fue como nació la necesidad de inventar los números complejos, que se crearon cuando los matemáticos se encontraron con el problema de resolver la raíz cuadrada de un numero negativo.

 

Explicación: Como no todos los problemas pueden resolverse con números reales, se aprendió que era posible calcular la raíz cúbica de —1 o de —8.

 

Sabemos por ejemplo, que la raiz cúbica de -1 es igual a -1.

 

 

 

Simplemente porque (ahora al  revés) (—1)³ = —1.

 

Igualmente, la raíz cúbica de -8 es igual a -2, porque (—2)³ = —8.

 

 

 

Hasta acá todo bien, pero que pasa cuando se quería obtener, por ejemplo,  la raíz cuadrada de -4, cuanto es?….si probamos con 2 no puede ser porque 2²  = 4, y si probamos con -2, tampoco es porque (-2)²=4, también dá 4.

 

 

 

Como se observa es imposible obtener un valor para una raíz de índice par, en este caso 2 (cuadrada), de un numero negativo, entonces frente  a este inconveniente,  se inventaron los números que comenzaremos a utilizar en este capítulo: los números complejos.

El símbolo que se utiliza para simbolizarlos es la letra (i), de imaginarios, porque son números que no se pueden representar en la coordenadas reales como hacemos habitualmente. Corresponde al gran matemático Leonhard Euler, la designación de tal simbología.

 

En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el símbolo i (por “imaginario”), que después de eso se adoptó de manera general, y por definición:i²=-1

 

Entonces para el ejemplo anterior, en donde se desea obtener, la raíz cuadrada de -4, la respuesta es:  2i de tal manera que si hacemos al revés, es decir, 2i . 2i = 4. i²= 4. (-1)=-4, valor correcto.

 

 

Referencia: http://historiaybiografias.com/preguntas_raras12/